Academia Mexicana de Ciencias
Boletín AMC/208/13
México, D.F., 6 de junio de 2013

• Los diseños ornamentales con figuras intercaladas que pueden seguir de manera infinita fueron empleados por los sumerios y los persas
• El artista holandés M. C. Escher, fue creador de bellos patrones geométricos los cuales son una buena opción para acercarse a las matemáticas

El matemático ruso Evgraf Fedorov demostró que hay siete formas distintas de rellenar un friso, un zócalo o una franja y 17 distintas de rellenar el plano. En la imagen, dibujo de mosaico de la Alhambra. M. C. Escher, 1922.
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Los diseños ornamentales en pisos, paredes, alfombras, telas, grabados que conforman diversas figuras que podrían seguir de manera infinita, intrincada y precisa, tienen un nombre: teselaciones, un patrón repetitivo de figuras geométricas, de animales o humanas, que están intercaladas entre sí y no dejan espacios libres, es decir, están ordenadas de forma continua, sin superponerse.

“Las teselaciones forman parte de nuestra vida y desde hace tiempo las hemos visto gracias a nuestra imaginación y el uso correcto de las matemáticas, la geometría y el arte”, explicó Sarah Pando Figueroa, de la Facultad de Ciencias de la UNAM, al participar en las conferencias de Domingos en la Ciencia, de la Academia Mexicana de Ciencias, en el Museo Tecnológico de la Comisión Federal de Electricidad.

Para construir una teselación se requiere de matemáticas, de ciencia, pero sobre todo arte, pues se basa principalmente en el uso del hexágono –un polígono de seis lados y seis vértices. Entre los ejemplos de estructuras de este tipo destacan los murales de Alhambra, en Granada, España.

En geometría es común el estudio de los movimientos que dejan invariante una figura, que no son otra cosa que un grupo de simetrías, pero estudiar los subgrupos que permiten rellenar periódicamente un friso o un plano completo, es decir un mosaico, es ir más allá, pues se ingresa al estudio de las teselaciones del plano.

Para rellenar un friso o un zócalo con figuras regulares e iguales hay una opción: los cuadrados; pero para rellenar el plano hay más. De hecho, la única condición es que en cada vértice confluya un número entero de figuras, de donde se deduce que el ángulo formado entre dos lados consecutivos debe ser divisor de 360º. Esto deja tres opciones: los cuadrados (90º), los triángulos equiláteros (60º) y los hexágonos (120º). Las posibilidades se multiplican si se combinan figuras, figuras no regulares o deformaciones varias.

Y¿cómo se puede rellenar un plano? El cristalógrafo y matemático ruso Evgraf Fedorov resolvió esta pregunta en su artículo “Simetría de los sistemas regulares de las figuras” publicado en 1891. Hay siete formas distintas de rellenar un friso, un zócalo o una franja y 17 distintas de rellenar el plano, rigurosamente demostradas, de acuerdo al autor no hay más. Fedorov se basó en el estudio de la cristalización en la naturaleza donde están presentes los 17 grupos.

Desde una perspectiva artística, uno de los creadores que más aprovechó las teselaciones fue el holandés Maurits Cornelis Escher, quien elaboraba teselados con figuras de animales y de humanos, lo que le hizo estar más en contacto con los matemáticos que con los artistas de su tiempo.

Las figuras de Escher recurren al uso de las formas y cómo aprovecha cada espacio libre para crear patrones definidos en sus más de 400 litografías y grabados, que no son otra cosa que creativos dibujos matemáticos.

Sarah Pando indicó que en este caso el arte ha sacado ventaja de las matemáticas desde hace mucho tiempo. “Una vez que nos damos cuenta de qué tan frecuentemente las utilizamos, las teselaciones dejan de ser algo extraño, inclusive se han creado programas de computación para que cualquiera que lo desee pueda armar su propio teselado”, comentó y recordó que estos patrones geométricos se han usado desde antiguas sociedades como la sumeria y la persa.

Reconoció que el uso de las teselaciones es una buena opción para acercarse a las matemáticas, una disciplina científica que se puede traducir como el arte de saber pensar, concluyó.

Belegui Beccelieri