Academia Mexicana de Ciencias
Boletín AMC/111/11
México, D.F., 18 de mayo de 2011

• El juego del billar y las matemáticas están relacionados

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Foto: Cortesía. Aubin Arroyo

Aubin Arroyo
Instituto de Matemáticas, Unidad Cuernavaca. UNAM

A muchos como yo, jugadores ocasionales de billar, nos podría parecer razonable que la mejor opción para iniciar una partida sea golpear la bola blanca muy fuerte contra las demás y esperar a que el azar, o la suerte, empujen alguna de las otras dentro de una buchaca. Una apuesta a que en el movimiento caótico de las dieciséis bolas sobre la mesa encontraremos la trayectoria ganadora. Obviamente, los jugadores profesionales se apoyan en otras teorías.

Sin duda, el juego del billar y las matemáticas están relacionados. Las Leyes de Newton, las que describen el movimiento y las colisiones de las bolas, se pueden escribir en fórmulas. Pero hay otra relación que tiene que ver con la forma de la mesa y con la intención del juego: una única esfera muy pequeña viajando por la superficie de una mesa rectangular (sin buchacas) y que rebota en las orillas.

Cada vez que la bola choca con el borde, ésta se refleja como si fuera un haz de luz en un espejo.

El cuarto de los espejos

Ya que me concediste un poco de tu atención, ahora déjame proponerte un escenario donde el arriba y el abajo no existen e imagina: estás en un cuarto donde las cuatro paredes son espejos, enciendes la luz e, inmediatamente, te encuentras con la imagen de tu rostro reflejado frente a ti y te mira. Es curioso, detrás de tu imagen reflejada hay otra copia de ti, pero está de espaldas. Volteas a la derecha y tu imagen reflejada en el espejo de la derecha gira su rostro a la izquierda y te mira, sin embargo, la otra, la siguiente, te voltea el rostro.

No son sólo cuatro imágenes o cinco, el patrón se repite: hacia la derecha hay una infinidad de copias tuyas que por pares se miran o se dan la espalda. También hacia la izquierda, hacia adelante y hacia atrás. En realidad, el cuarto de los espejos se repite, de cuatro en cuatro, en todas las direcciones como los mosaicos de un piso.

El billar matemático

Con la idea del cuarto de los espejos en la mente, es posible describir un billar matemático, pero es necesario un apuntador láser. La mesa de billar es el cuarto de los espejos y realizar un tiro es encender el apuntador en alguna dirección. Si empujáramos la bola en la dirección del haz de luz, ésta describirá la trayectoria del haz, imitando, en sus rebotes, la ley de la reflexión de la luz en un espejo: el ángulo de reflexión es idéntico al ángulo de incidencia.

Hay dos situaciones posibles: una es que el haz de luz regrese exactamente a su lugar de origen después de reflejarse varias veces en los espejos; de hecho, no sólo al mismo lugar, sino con la misma dirección con la que salió. Por ejemplo, si apuntamos perpendicularmente contra el espejo de enfrente, el haz de luz regresará a su posición original después de reflejarse, primero en el espejo de enfrente y luego en el de atrás. A este tipo de trayectorias se les llama periódicas.

La otra situación es que el haz no regrese nunca al mismo lugar, o si lo hace, regrese con otra dirección. En este caso sucede algo interesante: el haz de luz pasa tan cerca de cualquier punto de la orilla (de los espejos) como queramos; quizás no en los primeros cien rebotes, ni en los primeros mil, pero eventualmente pasará. De hecho, toda la orilla de la mesa quedaría iluminada con la luz del apuntador.

La ventaja de pensar el billar en el cuarto de los espejos es que podemos interpretar las trayectorias de una manera un poco diferente. Si en lugar de reflejarse en un espejo pensamos que el haz lo atraviesa y continúa su movimiento en el cuarto de al lado, podemos observar, entonces, que cualquier trayectoria, en realidad, dibuja una línea recta. Y más aún, dos trayectorias con la misma dirección inicial viajarán a lo largo de líneas paralelas, aunque se reflejen en espejos diferentes.

El caos

Es común, en la vida diaria, usar la palabra caos para explicar las cosas que no entendemos bien.

En las matemáticas, sin embargo, decir que un sistema es caótico tiene un significado muy preciso. Así, decir de un sistema que es caótico, en principio, dice que ya sabemos algo. Es como al afirmar que un triángulo es un triángulo rectángulo sabemos, indudablemente, que uno de sus ángulos mide noventa grados.

Para verificar que, en efecto, un sistema es caótico, es necesario comprobar dos propiedades técnicas, de las que no vamos a hablar aquí, pero que garantizan la sorprendente propiedad de la sensibilidad a las condiciones iniciales:

En un sistema caótico, si partimos de dos situaciones iniciales diferentes, por más parecidas o cercanas que sean, eventualmente sus trayectorias se alejarán una de la otra.

Para convencernos que un sistema no es caótico la lógica es infalible: si todo sistema caótico tiene esta propiedad, entonces, un sistema que no la tenga no puede, de ninguna manera, ser caótico.
El billar en el cuarto de los espejos, aunque complicado, no es caótico, pues, como ya vimos, las trayectorias que recorren las bolas son líneas rectas en el cuarto de los espejos, y dos trayectorias paralelas, aunque muy cercanas, ni se alejan ni se acercan nunca.

Claro que todo esto no nos sirve demasiado para jugar billar, pues, para empezar, ni siquiera hemos considerado la fricción, que consigue que las bolas se detengan y, mucho menos, consideramos qué sucede cuando dos bolas chocan entre ellas. Sin embargo, el estudio de este tipo de sistemas, los billares matemáticos, permite, por un lado, poner a prueba las teorías matemáticas de otros sistemas más complicados y, por el otro, es una fuente de problemas interesantes que, sin duda, llevarán a inventar otras teorías. De cualquier manera, como casi todo en las matemáticas, el billar puede verse también como lo que es: un juego interesante.

Este texto fue tomado de la sección Ciencia del periódico Correo del estado de Guanajuato, este artículo, número 50, demuestra el compromiso de los investigadores de la región centro del país por dar a conocer los avances y desarrollo de la ciencia, dijo el Dr. Renato Iturriaga Acevedo, investigador del Departamento de Matemáticas Básicas del CIMAT y miembro de la Academia Mexicana de Ciencias.

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