Academia Mexicana de Ciencias
Boletín AMC/250/14
México, D.F., 13 de julio de 2014

• Hasta ahora no se ha encontrado explicación satisfactoria sobre cómo calculaban las áreas de los polígonos, y uno de los propósitos de un grupo de investigadores es averiguar cómo lo hacían

Hasta donde sabemos hoy, no hay registro del uso de trigonometría en ningún pueblo de Mesoamérica, dicen investigadores del IIMAS. Infografía: Natalia Rentería Nieto.
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Los Códices de Santa María Asunción y Vergara, elaborados entre 1539 y 1542, fueron producidos por la cultura acolhua del reino texcocano. El contenido de estos códices es distinto al de otros más conocidos, ya que corresponde a un catastro prehispánico del pueblo de Tepetlaoztoc. Son códices que además de ser visualmente muy atractivos guardan información valiosa que demuestra la habilidad de un pueblo azteca para la agrimensura.

“Estos códices están divididos en tres secciones: los censos de la población que están organizados en casas, el milcocolli, que contiene información perimetral de los terrenos asociados a cada casa indicando en cada uno la longitud de sus lados, y el tlahuelmantli, donde aparecen las áreas de cada terreno”, explicó el doctor Arturo Olvera Chávez, integrante de la Academia Mexicana de Ciencias.

Aunque estos códices- que muestran la aritmética y escritura azteca- ya habían sido analizados anteriormente desde el punto de vista social y humano; la sección del tlahuelmantli no se había podido descifrar; sin embargo en 1980 los doctores Herbert Harvey y Barbara Williams, de la Universidad de Wisconsin, tuvieron la idea de que esa sección representaba el área de los terrenos registrados. A partir de este dato, María del Carmen Jorge y Jorge, en colaboración con Clara Garza Hume y Arturo Olvera, todos del Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas (IIMAS) de la Universidad Nacional Autónoma de México, trabajan en diversos aspectos de la agrimensura acolhua.

“Hasta ahora no se ha encontrado ningún libro de geometría que explique cómo hacían para calcular las áreas de polígonos. Los acolhuas sólo combinan los datos de los lados para encontrar el área. Uno de nuestros propósitos es descubrir cómo lo hacían. Por otro lado, independientemente de cómo lo calculaban, nos preguntamos si estaban bien hechos esos cálculos”, destacó Garza Hume.

“Hasta donde sabemos hoy, no hay registro de uso de trigonometría en ningún pueblo de Mesoamérica. Estos son los únicos documentos prehispánicos en América que tienen registros de áreas. Una de las maneras en que el pueblo acolhua calculaba el área coincide con el método sumerio (1500 a. C.) de multiplicar los promedios de los lados opuestos, hoy conocido como la regla del agrimensor. En estos códices encontramos cinco algoritmos preferentes que usaban los acolhuas para calcular sus áreas y entre ellos está el que usaban los sumerios”, explicó María del Carmen Jorge.

Las secciones con las que trabajan los investigadores son el milcolli y el tlahuemantli, donde analizan, por ahora, sólo los terrenos que son cuadriláteros. Algunas de las dificultades a las que se enfrentan para poder calcular las áreas son: que no hay datos de los ángulos, las figuras no están a escala y no hay triangulaciones por lo que no se sabe qué forma tenían los terrenos ya que para figuras de más de tres lados las longitudes de los lados no determinan la forma. Sin embargo, los investigadores han podido reproducir las posibles formas de los cuadriláteros utilizando el plano cartesiano.

“De todas las posibles formas que puede tener un cuadrilátero –resaltó Garza Hume- hay una que tiene el área máxima y con base en eso encontramos que esas áreas máximas se aproximan mucho a las áreas registradas en los códices”.

Dentro del proceso de investigación, los científicos utilizaron una de las localidades del Códice Vergara que fue delimitada, en parte porque conservó el mismo nombre desde 1540, para comparar las áreas registradas en el códice con su área actual y corroborar la precisión de la medición acolhua. Para corroborarlo se hizo una proyección plana de las coordenadas que delimitan la localidad de Topotitla tomadas a partir de datos satelitales y se calculó el área; el error es de sólo de 9.3 por ciento.

La unidad de longitud de los acolhuas era el tlalcuahuitl (vara de medir equivalente a 2.5 metros); también es importante resaltar que los acolhuas tenían una unidad de superficie que era el tlalcuahuitl cuadrado, así, el método de los acolhuas —para terrenos rectangulares— consistía en cuadricular para calcular el área, al igual que se hace en la actualidad. “Hay evidencias de que este método se usaba desde antes de la llegada de los españoles y era conocido por un grupo amplio de la población”, aseguró Olvera Chávez.

Hasta ahora los investigadores han estudiado sólo los cuadriláteros, que son más de 800. “No hemos analizado todos los polígonos que hay de hasta 19 lados porque tienen infinidad de maneras de dibujarse y necesitamos elegir sólo una forma que coincida con el área de los códices. Los cuadriláteros sólo tienen dos posibilidades, por eso nos fue más fácil comenzar con ellos”, dijo por su parte Garza Hume.

Aun cuando las investigaciones continúan y los tres investigadores coinciden en que la agrimensura acolhua era muy avanzada para su tiempo, sostienen que se debe reconocer que “eran excelentes comunicólogos, porque una vez que se entiende la nomenclatura es muy fácil de leer y en un pequeño dibujo hay un mundo de información; los catastros eran muy elaborados. Además, estos códices contienen información de interés para muchas otras disciplinas como por ejemplo: los censos poblacionales que permiten estudios demográficos, los glifos de tipo de suelo y otros aspectos más”, aseguró María del Carmen Jorge y Jorge.

Mariana Dolores