Academia Mexicana de Ciencias
Boletín AMC/124/13
México, D.F., 5 de abril de 2013

• Geometría, combinatoria, álgebra y topología, las cuatro áreas más importantes de las matemáticas, unidas en el estudio de los poliedros regulares
• El estudio de las simetrías se puede traducir en simetrías de moléculas; la cristalografía tiene relación con esta área de las matemáticas

La doctora Isabel Hubard Escalera es la primera matemática mexicana que recibirá la Beca L’Oréal-UNESCO-AMC.
Foto: Cortesía de la doctora Hubard.
Imagen en alta resolución

En Los elementos de Euclides, una de las obras científicas sobre las matemáticas y la geometría más conocidas del mundo desde la Grecia Antigua, se aborda el estudio de los llamados poliedros convexos o sólidos platónicos –en honor al filósofo griego Platón, a quien se le atribuye ser pionero en el estudio del tema. Los cinco sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, figuras cuyas caras son polígonos regulares iguales y que en sus vértices se unen el mismo número de caras. Un polígono es bidimensional, un poliedro tridimensional y un politopo define a una figura con cualquier número de dimensiones.

La definición formal de un politopo sería “orden parcial que tiene una función de rango y esa función permite identificar los vértices, las aristas, las caras y las celdas de un objeto, el cual casi siempre lo pensamos geométrico aunque no necesariamente. Y este objeto cumple propiedades de conexidad (o conexión), es global y localmente conexo”, señaló en entrevista la matemática Isabel Alicia Hubard Escalera, ganadora en 2012 de la Beca L´Oréal-UNESCO-AMC en el área de Ciencias Exactas, por su trabajo titulado Algebra, combinatoria y geometría de los politopos abstractos de dos órbitas. Concretamente, la pregunta sobre la cual desarrolla su trabajo es cómo son los politopos de dos órbitas.

La investigación de la doctora Isabel Hubard gira en torno al estudio de simetrías de objetos combinatorios, en otras palabras, simetrías de poliedros: “La idea es fijarse en un sólido y ver propiedades que nosotros les llamamos combinatorias. Por ejemplo, si vemos un cubo, tenemos las ocho esquinas del cubo, las aristas, los bordes y las caras. Posteriormente, ver todas las esquinas de esa figura como objetos o un conjunto de objetos, y luego ver a todas las aristas u orillas como otro conjunto de objetos, y así con todas las caras, como otro conjunto de objetos. Entonces, eso lo que hace es que al objeto geométrico le asocia un orden parcial y este orden parcial ya es un objeto que en realidad no depende tanto de la geometría, sino de la combinatoria”, sostuvo.

La joven investigadora adscrita al Instituto de Matemáticas de la UNAM dijo que lo que hace es tratar de generalizar, es decir, “ya tengo ese objeto combinatorio y ahora me voy a fijar en propiedades que cumplen todos los sólidos que pueda encontrar, tomo muchos sólidos y las propiedades que todos cumplen, así haré una definición en donde ya me olvido de la geometría y voy a decir: un politopo abstracto –que son los objetos que estudio– es un objeto de este estilo, es un orden parcial que cumple ciertas propiedades. Lo que más estudio son las simetrías de estos objetos y de ahí se definen los de dos órbitas. Lo que quiere decir es que son muy simétricos pero les falta un poquitito para ser lo más simétricos posibles”.

Sobre la importancia de su investigación, Hubard Escalera señaló que ésta retoma aspectos que se creyeron terminados durante muchos años. Los griegos, explicó, estudiaron los sólidos platónicos y hay quien dice que Los elementos de Euclides se escriben específicamente para poder demostrar que hay exactamente cinco sólidos platónicos. Y casi dos mil años después, prosiguió la investigadora, llegan otros físicos matemáticos que dicen que tienen otros objetos que también son poliedros regulares y que no estaban en los sólidos platónicos.

“Esto sucede porque dicen que los polígonos no necesariamente son polígonos convexos, sino que dan oportunidad a que se intercepten, forman como una estrella y ésta la podemos pensar como un polígono de cinco lados. Entonces establecen que este tipo de formas entren y aparecen más sólidos regulares”, explicó la matemática.

Branko Grünbaum, matemático nacido en la ex Yugoslavia y que actualmente vive en Estados Unidos, “quizá uno de los geómetras más importantes hoy en día, es quien se plantea encontrarlos todos. A mediados de 1970 fue el primero en dar una definición con la cual trabajar, porque los griegos nunca dijeron a qué se referían, sólo los estudiaron para decir que había cinco pero nunca apuntaron qué querían decir con eso. Grünbaum dio una lista, encontró 47 más uno descubierto por otro matemático, y desde entonces hay una prueba formal de que hay 48 poliedros regulares en el espacio euclidiano”, dijo.

Es entonces a partir de 1970 que el estudio de los poliedros regulares vuelve ser retomado por los matemáticos. “Creo que durante muchos años no se lo acababan de tomar en serio, parecía que era muy fácil y de pronto, con todo lo que ha sucedido se da un puente muy fuerte entre la geometría, la combinatoria, el álgebra y la topología, que son cuatro de las áreas más importantes de las matemáticas, este es un tema en el que las cuatro interactúan todo el tiempo. Creo que esto es lo que ha hecho que empiece a tomar fuerza”, sostuvo.

El estudio matemático al que dedica su investigación la doctora Hubard Escalera difícilmente se puede observar en aplicaciones prácticas, o por lo menos, como ella misma señala: “Yo no me meto en las aplicaciones”. Su investigación es primordialmente un trabajo de corte teórico-metodológico, pero por ejemplo “el estudio de las simetrías también se pueden traducir en simetrías de moléculas, es decir, la estructura de las moléculas y de cómo se van juntando tiene mucho que ver con este tipo de cosas”. Por ello es común que la química, específicamente la cristalografía, tiene mucha relación con esta área de investigación, dijo.

Lo anterior es debido a que el conocimiento generado por los matemáticos no necesariamente va a tener una aplicación inmediata. “Las cosas que ahora se están aplicando para hacer computadoras o toda la tecnología que vemos son matemáticas de hace 100 años. No son matemáticas nuevas. Se tarda mucho porque el conocimiento que generamos los matemáticos, o sea la investigación pura, no toda se va a poder aplicar. Vamos generando conocimiento y habrá otros matemáticos que les interese ese conocimiento, y mientras más se va trabajando un tema más posibilidad hay de que llegue a la aplicación”, indicó.

Finalmente la joven matemática señaló que la Beca L´Oréal-UNESCO-AMC representa algo sumamente relevante. Es importante principalmente para la institución para la cual trabaja, dijo, porque en términos de números “los matemáticos producimos menos que el resto de los institutos”, ello debido a que en otras ciencias no hay respuesta que esté mal en sus preguntas de investigación, es decir, “si les sale que no escriben eso, si les sale que sí también escriben eso, así como si les sale que a veces sí y a veces no; y en las matemáticas es diferente, casi siempre tenemos que demostrar lo que planteamos. Pero bueno, dejando de lado esa parte, evidentemente estoy muy feliz por recibir la beca y me gusta eso”.

Isabel Hubard Escalera es la primera matemática en México en recibir dicha beca. Al respecto, señaló que en un inicio no consideraba participar porque pensaba que “nunca dan (becas) a las ciencias matemáticas”; posteriormente alguien la animó a que enviara sus documentos, ya que consideraba que tenía un buen currículo y fue entonces que pensó “que en realidad no perdía nada”. En la actualidad, su mayor pasión es dar clases, le parece fascinante y le “hace el día”, dijo, y obviamente le gusta muchísimo hacer investigación.

Nancy Zúñiga Murrieta